Pi no céu?

Estamos acostumados a trabalhar com o número pi nas aulas de Cálculo e conhecemos também algumas relações existentes entre este número e a circunferência. Mas, que relação existe entre pi e as estrelas do céu? Para investigarmos essa relação, é preciso conhecer um pouco sobre Teoria dos Números, um ramo fascinante da Matemática.

Em Teoria dos Números, dizemos que dois inteiros são relativamente primos se o único inteiro positivo que divide ambos é 1. Por exemplo, 14 e 15 são relativamente primos, mas 14 e 21 não são, pois 7 também é um divisor comum para estes números [3]. Escolha agora ao acaso dois inteiros não nulos m e n. Qual é a probabilidade dos números que você escolheu serem relativamente primos? É possível mostrar, usando resultados que não mencionaremos aqui, que esta probabilidade tende a 6/π².

Mas o que isso tem a ver com as estrelas? Em 1995, Robert Mathews [1] utilizou o resultado acima para obter uma aproximação de pi utilizando as estrelas do céu. Mathews tomou um subconjunto de estrelas e supôs que suas posições fossem aleatórias. Então, calculou as distâncias angulares entre as estrelas selecionadas e transformou as distâncias em grandes números inteiros, obtendo assim, uma enorme lista. Em seguida, ele determinou a proporção p de pares de números relativamente primos presentes na lista. Como p ≈ 6/π², Mathews isolou π nesta relação e obteve uma estimativa para o número em função da proporção p obtida em seu experimento. Mais detalhes de como os cálculos de Mathews foram conduzidos podem ser obtidos em [4].

Gostou? O artigo de J. J. O'Connor e E. F. Robertson [2] traz fatos históricos e outras propriedades interessantes relacionadas ao número pi.

Referências:

[1] http://www.robertmatthews.org
[2] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html
[3] http://mathworld.wolfram.com/RelativelyPrime.html
[4] Incríveis Passatempos Matemáticos, I. Stewart - Editora Zahar, 2010.

A Curva Ciclóide

Chamamos de Ciclóide a curva descrita por um ponto sobre uma circunferência de raio r que rola sem deslizar ao longo de uma linha reta (para visualizar a animação abaixo é necessário ter Java instalado no computador). 

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com

No passado, muitos estudiosos dedicaram-se ao estudo das propriedades dessa curva. Entre eles, Galileo, Torricelli e Pascal. Um ponto P = (x, y) sobre um arco da curva pode ser descrito em termos de um parâmetro real t da seguinte forma:

x(t) = r t - r sen(t),   y(t) = r - r cos(t) com t em [0, 2π].

Utilizando ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral (quais?), podemos mostrar que o comprimento de um arco da curva é igual a 8r e a área sobre este arco é igual a 3 π r².

Assim como outras formas geométricas, a ciclóide inspirou arquitetos ao redor do mundo [2]. Louis Kahn [3], arquiteto americano, utilizou arcos de ciclóide para projetar o Kimbell Art Museum no Texas, EUA (veja a Fig. 1 abaixo). A história de outras curvas matemáticas e suas propriedades podem ser encontradas na referência [1]. 

Fig. 1: Kimbell Art Museum - fonte: referência [4]

Referências:

[1] http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Cycloid

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Louis_Kahn

[4] http://www.flickr.com/photos/25831000@N08/2432450282/

Atenção leitores: faremos uma pausa de duas semanas nas postagens do blog. Voltaremos na semana do dia 18/02 com mais novidades. Não deixem de acompanhar nosso trabalho! Até a volta!

O Cálculo e as Construções Históricas

O Arco de Entrada em Saint Louis, Missouri, foi projetado pelo arquiteto Eero Saarinen para homenagear os pioneiros do oeste americano. Sua construção foi iniciada em 1963 e terminada em 1965, custando menos do que US$ 15 milhões. Turistas que passeiam por Saint Louis podem subir no monumento e desfrutar da vista do topo, a mais de 192 metros de altura, graças a uma espécie de trem que se desloca dentro do arco. 

Fig. 1: Arco de Entrada em Saint Louis, Missouri - fonte: www.visitingdc.com.

Agora, que relação existe entre este monumento e o Cálculo Diferencial e Integral? Pois bem, o estudo da forma geométrica desta construção requer o conhecimento de tópicos que são aprendidos em Cálculo: funções hiperbólicas, comprimento de arco, volume expresso como uma integral, etc. Você sabia que a curva (veja a figura abaixo) que passa pelo centro do arco pode ser modelada em termos da função cosseno hiperbólico? Curioso, não? Este tipo de investigação matemática é possível graças aos diversos recursos computacionais hoje existentes. Uma atividade bastante interessante de Ensino de Cálculo envolvendo o Arco de Entrada pode ser encontrada na referência [4].

Fig. 2: Curva que passa pelo centro do arco.

Você conhece alguma construção ou monumento histórico que possui forma geométrica interessante?  É possível estudá-la usando ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral? Relate nos comentários ou envie para gente: ensinocalculo@gmail.com. Continue nos acompanhando! Até a próxima! 

Referências:

[1] http://www.jug.net/wt/arch.htm

[2] http://www.gatewayarch.com/about/

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Eero_Saarinen

[4] Cálculo com Aplicações: Atividades Computacionais e Projetos,
      V. L. X. Figueiredo, M. P. Mello, S. A. Santos - Ciência Moderna, 2005

[5] Cálculo com Geometria Analítica,
     C. H. Edwards, D. E. Penney - vol. 1, 2, 3 - Prentice Hall do Brasil, 1997