Os primeiros problemas da história do Cálculo diziam respeito ao cálculo de áreas, volumes e comprimentos de arcos [1]. Os gregos, por exemplo, sabiam determinar algumas áreas de figuras planas empregando o Método da Exaustão. Este método consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos e, então, aumentar o número de lados deles. Foi assim que Eudoxo (século V a. C.) usou a exaustão para demonstrar a conhecida fórmula da área do círculo: A = πr2.
Para ilustrar o método, considere a tarefa de calcular a área de uma circunferência de raio 1. Sejam an e An, respectivamente, as áreas dos polígonos (com n lados) inscrito e circunscrito na circunferência. A medida que aumentamos n, as áreas desses polígonos ficam cada vez mais próximas da área da circunferência (que é igual a π) [2]. Visualize o comportamento do método na animação abaixo. Deslize o botão n e veja o que acontece com os polígonos. Note neste caso que, para qualquer n ≥ 4 temos que an ≤ π ≤ An. Esta animação foi criada por David Taub no software Geogebra. Outras animações bastante interessantes podem ser encontradas em www.geogebratube.org.
Referências:
[1] Introdução à História da Matemática, H. Eves - Editora da Unicamp, 2004.
[2] Cálculo - volume 1, J. Stewart - Editora Cengage Learning, 2010.
